Gemini-1.5-Pro
：
好的，我来独立解决这个问题。

分析：
我们需要分别计算 $y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x$ 趋近于 0 和正无穷时的极限。

当 x 趋近于 0 时：
变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于 0 时，$t$ 趋近于正无穷。原式变为：
lim
⁡
�
→
0
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
=
lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
lim
x→0
​
xln(1+
x
1
​
)=lim
t→∞
​

t
ln(1+t)
​


洛必达法则: 由于 $\lim_{t \to \infty} \ln(1+t) = \infty$ 且 $\lim_{t \to \infty} t = \infty$，我们可以应用洛必达法则：
lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
1
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
=
0
lim
t→∞
​

t
ln(1+t)
​
=lim
t→∞
​

1
1+t
1
​

​
=lim
t→∞
​

1+t
1
​
=0

因此，当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 的极限为 0 。

当 x 趋近于正无穷时：
变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于正无穷时，$t$ 趋近于 0 。原式变为：
lim
⁡
�
→
∞
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
=
lim
⁡
�
→
0
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
lim
x→∞
​
xln(1+
x
1
​
)=lim
t→0
​

t
ln(1+t)
​


重要极限: 我们知道 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$，因此：
lim
⁡
�
→
0
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
=
ln
⁡
(
lim
⁡
�
→
0
(
1
+
�
)
1
�
)
=
ln
⁡
(
�
)
=
1
lim
t→0
​

t
ln(1+t)
​
=ln(lim
t→0
​
(1+t)
t
1
​

)=ln(e)=1

因此，当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 的极限为 1 。

结论：
当 $x$ 趋近于 0 时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 0 。
当 $x$ 趋近于正无穷时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 1 。