Claude-3-Opus：

好的,我们来解决这个问题。我们需要分别计算 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

第一步:当 x 趋近于 0 时。

令 t = 1/x,则当 x 趋近于 0 时,t 趋近于正无穷。
原式可以写成:
lim(x→0) x ln(1+1/x) = lim(t→∞) ln(1+t)/t

使用洛必达法则,对分子和分母分别求导:
(ln(1+t))' / t' = 1/(1+t) / 1 = 1/(1+t)

当 t 趋近于正无穷时,1/(1+t) 趋近于 0 。
所以,lim(x→0) x ln(1+1/x) = 0

第二步:当 x 趋近于正无穷时。

lim(x→∞) x ln(1+1/x) = lim(x→∞) ln((1+1/x)^x)

令 t = 1/x,则当 x 趋近于正无穷时,t 趋近于 0 。
(1+1/x)^x = (1+t)^(1/t)

当 t 趋近于 0 时,(1+t)^(1/t) 趋近于 e 。
所以,lim(x→∞) x ln(1+1/x) = ln(e) = 1

综上所述:

当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 0 。
当 x 趋近于正无穷时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 1 。
--------------------------------------------------------------------------------------
GPT-4：

要解决这个问题，我们需要找到函数
�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
) 当
�
x 趋近于 0 和正无穷时的极限。我们将分步来解决这个问题。

当
�
x 趋近于 0 时
首先，我们可以通过变量替换来简化极限。令
�
=
1
�
t=
x
1
​
，则当
�
x 趋近于 0 时，
�
t 趋近于正无穷。原函数变为：

�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
=
1
�
ln
⁡
(
1
+
�
)
y=xln(1+
x
1
​
)=
t
1
​
ln(1+t)
我们需要求解的极限变为：

lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
t→∞
lim
​

t
ln(1+t)
​

利用洛必达法则，我们可以对分子和分母分别求导：

lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
=
lim
⁡
�
→
∞
�
�
�
(
ln
⁡
(
1
+
�
)
)
�
�
�
(
�
)
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
1
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
=
0
t→∞
lim
​

t
ln(1+t)
​
=
t→∞
lim
​

dt
d
​
(t)
dt
d
​
(ln(1+t))
​
=
t→∞
lim
​

1
1+t
1
​

​
=
t→∞
lim
​

1+t
1
​
=0
因此当
�
x 趋近于 0 时，
�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
) 的极限为 0 。

当
�
x 趋近于正无穷时
现在考虑
�
x 趋近于正无穷的情况。原函数仍为：

�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
)
我们可以将
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
ln(1+
x
1
​
) 进行泰勒展开：

ln
⁡
(
1
+
1
�
)
≈
1
�
−
1
2
�
2
+
�
(
1
�
3
)
ln(1+
x
1
​
)≈
x
1
​
−
2x
2

1
​
+O(
x
3

1
​
)
所以，原函数可近似为：

�
≈
�
(
1
�
−
1
2
�
2
)
=
1
−
1
2
�
y≈x(
x
1
​
−
2x
2

1
​
)=1−
2x
1
​

当
�
x 趋近于正无穷时，
1
2
�
2x
1
​
趋近于 0 ，因此：

�
≈
1
−
1
2
�
→
1
y≈1−
2x
1
​
→1
所以当
�
x 趋近于正无穷时，
�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
) 的极限为 1 。

结论
当
�
x 趋近于 0 时，极限为 0 。
当
�
x 趋近于正无穷时，极限为 1 。

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