@lance6716 回复三楼
函数在单点有界的条件其实比较弱，只需要在这一点极限存在：（数学分析新讲第一册 p96 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFsYQ.png

因此如果在某点连续，那必然极限存在。因此也连续（数学分析新讲第一册 P106 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECk3n0.png

在以上定理引理基础上，书中证明区间连续的函数必有界，使用了闭区间套逐渐缩小的方式和反证法思路。（下面两图出自数学分析新讲第一册 P114 ）
我的疑问就是受这个证明的启发产生的。我不用闭区间套逐渐缩小。我直接用反证法假设函数 f 在[a,b]上任意一点 x0 处无界，那么直接与 P106 定理一矛盾.因为 x0 的任意性，所以 f 在[a,b]上有界。------------书中之所以没用这么简单的反证法，而采用缩小闭区间到一点的方法。说明我的思路是错的（逻辑严谨性有问题或有其他错误）。我想知道我错在哪里了。
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFVJJ.png
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECkg4e.png

@lance6716
如果函数 f 在 X0 点连续，那么它在该点邻近是有界的 ． 这是一 个局部性质对于在闭区间连续的函数，我们来讨论相应的整体性质——————《数学分析新讲》第一册 第三章，第二节 2.b

而且我说的不是“函数在某个点上有界”。我说的是在某点连续的函数在该点“邻域”有界。

@halfdb 谢谢你的解答。为了验证一下我是否真的理解你的回答。我再叙述一下，请你看看我是否准确的理解了你的回答？

α<γ<β 推出 γ∈J-------------这个结论是无需证明的！因为这是命题给出的条件“介于α和β之间的任何实数γ也一定属于 J”。是证明的起点！

这个证明的思路是利用“命题条件”+“确界定义”。来说明“任意” γ∈(A,B)这个 “有前提条件” 的γ也属于 J ，目的是推出(A,B)⊂J 的结论。

@Alex222222222222
这个例子太棒了。无界量是“存在”函数值大于任给的 M 。而无穷大量要求进入去心邻域后，所有函数值都大于任给的 M 。因此 G 是无界量，但不是无穷大量。
请问你是怎么想到这个例子的？

@Alex222222222222
我明白 x_0 是下标的意思。但是下面这段内容你想说明什么？我没太理解。
f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0

@Alex222222222222 谢谢你的回复。
有点没看懂。
1 、x_0 = 0 ------------这个 x_0 是什么？
2 、g(x) = 1|x|-----------这个确定 g(x) = 1|x|？而不是 g(x) = 1/|x|
3 、外国教材的翻译教材------有什么推荐的么？

@Alex222222222222 同意你的说法。
现在的难点在于除了苏德矿微积分。我没有在其他地方找到“无界量”的定义。包括维基百科。数学英汉词典。因此也不知道这个概念的英文专用名词是什么？

@Alex222222222222
关键这两个概念 “分别” 有相反的概念。无穷大量<-->无穷小量 无界量<-->有界量 而且有个性质：有界量*无穷小量=无穷小量

据此推断，无穷大量与无界量应该是不同的概念吧？因为有界量与无穷小量显然是不同的概念！

@Alex222222222222
那么如果仅以苏德矿微积分的截图来看。无界量和无穷大量有区别么？虽然，一个是“存在”，一个是“总存在”。但是似乎没有区别啊！

@Alex222222222222
“第一个你的理解是对的。虽然并不清楚你想问什么。”，其实我只有一个问题，问题是“ 无穷大量与无界量、无界函数三者之间究竟有什么区别？”

在主贴黑体字“问题”后面是通过对《华东师范大学数分》 p65 页例子的讨论来阐述我的困惑。不知道我这么解释是否让问题更清楚了。如果你觉得哪里不清楚，请告诉我，我再补充！

@Alex222222222222 谢谢你的回复
请问“ 我个人对于无穷大量和无界函数的理解是，无界函数的条件是 globally 的，是作用在整个定义域上的。无穷大量是 locally 的，可以理解为是作用在一个点上的。”——————请问你的理解是建立在我问题中引用的“课本截图”之上的么？

@baraja 谢谢回复
1 、在“本地计算机证书”查不到“cloudflare-dns.com ”的证书。这要怎么才能安全的安装这个证书？
2 、关于“不要直接用 1111 和 1001” a 、在 chrome 中设置的 dns “Cloudflare”看不到他的 ip 。虽然它里面写的 1.1.1.1 但是这也可能是产品名吧？那么要怎样才知道 chrome 的 DNS 设置完 cloudflare 后，真实启用的 dns IP 地址是多少？ 我之所有这个怀疑，是因为今天 chrome 可以正常打开国内网站了！所以我猜测 chrome 里开启 cloudflare 后他会不定期更换使用的 DNS 。

3 、如果 chrome 中启用了 cloudflare 的 dns ，同时在网络连接的 TCP/IP 协议中设置了其他 dns 服务器。那么当使用 chrome 访问网络时究竟是哪个 DNS 在起作用？为什么？

@dwdh
Chrome 设置--隐私和安全--安全---使用安全 DNS---选择 DNS 提供商 Cloudflare(1.1.1.1)

在浏览器设置以后还是可以正常打开网页，第一次打开有点慢。这样设置以后很多过去打不开的网页都可以打开了。但是被重点关照的网站还是打不开。现在 1.1.1.1/help 链接也可打开

wireshark 抓 DNS 确实看不到发出真实访问的域名。但是能看到链接 Cloudfare

@nightwitch 谢谢回复！
请问你说的场景组织结构，组件是什么？可否从产品的角度举个具体的例子。比如王者荣耀或者星际争霸或者暗黑破坏神……

@frankmdong 谢谢回复。
那你们实际工作中是自己开发寻路系统？开发过程中会用到栈么？

@frankmdong 比如星际争霸圈一堆兵，让他们进攻敌人基地。鼠标给出目的地以后这些兵要自己寻最短路径过去。这些寻路算法 Unity 已经做好了吧？不需要 C#程序员在去想算法，也不用自己用栈来实现了吧？

@iLoveSS 多谢指教。工作负荷(workload)的时候,选.net 桌面开发或者相关 Asp.net 开发都会默认附带.net sdk
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如果通过这种方式变相安装.net sdk ，那么开发者是否没有.net sdk 版本选择的余地了？如果客户由于历史原因，要求只能用较旧的.net sdk 版本，那怎么办？这是就算操作系统里有较旧版本的 SDK ，也会因为“vs 里带 sdk 跟 vs 是绑定的, 你单独下载安装的 sdk 有可能会和 vs 版本不匹配用不了” 而无济于事！

@iLoveSS 谢谢你的回复，下面 GPT 的答案与你的方案有一致性：
GPT：在 Visual Studio Installer 中勾选 .NET 8.0 运行时并不一定意味着你已经安装了 .NET 8.0 SDK 。运行时和 SDK 是不同的组件：

.NET 运行时：用于运行 .NET 应用程序，但不包含开发和编译应用程序所需的工具。
.NET SDK：包括运行时，以及用于开发和编译 .NET 应用程序的工具。
要确认你是否安装了 .NET 8.0 SDK ，可以按照以下步骤操作：

检查 Visual Studio Installer：

打开 Visual Studio Installer 。
选择你的 Visual Studio 实例，点击“修改”。
在“单个组件”选项卡中，搜索 .NET 8.0 SDK 。
确保已勾选 .NET 8.0 SDK 。

-------------------问题：在 Installer 中搜索不到“ .NET 8.0 SDK”！ 只能搜索到.NET SDK 。可是.NET SDK 有好几个版本。Installer 怎么知道我要安装的是 8.0 ？还是 9.0 ？或者他会根据我安装的其他选项自动决定安装那个版本的 SDK ？
https://dotnet.microsoft.com/zh-cn/download/dotnet

@dalovelanlan 不知道这样会不会有问题。你看我主贴末尾的链接了吧？看起来并不简单啊。