necomancer

这里的等于关系就是他的证明，意思是如果 x in [0, 2) 则总有一个 An 包含 x ；反之如果 x in 无穷并 An ，则 x 除了 2 谁都能取到，所以 x in [0, 2)于是无穷并 An=[0,2)。

严格小于当然能丝滑地推出小于等于，但反过来不行于是二者不等价。你要不还是先看看分析的基础或者是 sets and logic ，A<B -> A<=B, 但反过来不行。但 A=B->B=A ，或者说 A in B and B in A -> A=B 。所以无穷 An 的并=[0, 2) in [0, 2]，所以无穷 An 的并当然 in [0, 2]，但无穷 An 的并等于[0, 2)，搞清楚等于号的用法再来推翻结论。我都不能理解这个例子的逻辑哪里能让人产生疑问：1.构造 An=[0, 2-1/n]，2. 2 not in any An ，3. 于是无穷并 An 可以取[0, 2)里所有的数字但无法取 2 ，于是闭集无穷并可以是一个开集。你非要加上一个因为 in [0, 2)我可以说 in [0, 2]所以就推翻了？

“而 U(c,η)又是包含在不断缩小的闭区间套[an,bn]中”，这句话不对。没有任何地方说了这个结论，这个是你自己理解错了。
开区间不行是因为闭区间套定理，简单说就是[an,bn]当 an,bn 同极限的时候，这个闭区间套最后就是这个极限。形象理解一下的话就是开区间不行，比如 (0,1/2^n)，这个东西到最后是空集。[0,1/2^n]最后是 0 。带到证明过程里就是开区间没有那个 c 了。

买个 vps 自己做转发,或者本地代理，买靠谱的机场

我用的 macmini 没在手边……我看到这么个解决方案，搞 x86 的 brew ，然后那个 brew 安装 gcc 啥的？ https://stackoverflow.com/questions/64882584/how-to-run-the-homebrew-installer-under-rosetta-2-on-m1-macbook

arch -x86_64 zsh 环境下用 anaconda x86 那个环境呢？

广义柯西施瓦兹不等式是在任意内积空间，|u||v|>=|<u v>|，即范数乘积大于等于内积的绝对值。

Mathematica

唉……忘了 simplify 这个神器，将就一下吧。
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