闭区间连续函数有界的证明为什么都要用到数列？

[huzhikuizainali]

请看最下方截自“书中的证明”有关连续函数在闭区间有界的证明

我这么证明可以么？
这个证明我觉得挺“显然”的。我把上面的疑问发给 gpto1 ，它给出一大篇解释。其中提到了“紧性” “紧区间覆盖”等等一大篇深奥的概念（我搜索了一下好像属于拓扑的知识）。我觉得是不是它夸大问题的复杂程度和深奥程度了？

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Gpt 的回答：

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书中证明：

[lance6716]

不可以，因为你自己莫名其妙定义了个“函数在某个点上有界”。

[huzhikuizainali]

@lance6716
如果函数 f 在 X0 点连续，那么它在该点邻近是有界的 ． 这是一 个局部性质对于在闭区间连续的函数，我们来讨论相应的整体性质——————《数学分析新讲》第一册 第三章，第二节 2.b

而且我说的不是“函数在某个点上有界”。我说的是在某点连续的函数在该点“邻域”有界。

[lance6716]

邻域跟邻域“可以连到一起”从而随着邻域中心充满整个 a 到 b ，这个也是需要证明的。邻域是一个任意大小的集合，并不是两邻域直接能相加的概念

[lance6716]

感觉一开始你表述成了“f(x)在…每一点都有界”，反应出了你觉得点和邻域是类似的。点可以通过函数连续在区间上平滑乱跑，但是邻域并不能直接就这么移动。而有界这个性质是定义在区间上不是定义在点上的。邻域要想“相加”、“连接”还是需要“紧”的特性

[huzhikuizainali]

@lance6716 回复三楼
函数在单点有界的条件其实比较弱，只需要在这一点极限存在：（数学分析新讲第一册 p96 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFsYQ.png

因此如果在某点连续，那必然极限存在。因此也连续（数学分析新讲第一册 P106 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECk3n0.png

在以上定理引理基础上，书中证明区间连续的函数必有界，使用了闭区间套逐渐缩小的方式和反证法思路。（下面两图出自数学分析新讲第一册 P114 ）
我的疑问就是受这个证明的启发产生的。我不用闭区间套逐渐缩小。我直接用反证法假设函数 f 在[a,b]上任意一点 x0 处无界，那么直接与 P106 定理一矛盾.因为 x0 的任意性，所以 f 在[a,b]上有界。------------书中之所以没用这么简单的反证法，而采用缩小闭区间到一点的方法。说明我的思路是错的（逻辑严谨性有问题或有其他错误）。我想知道我错在哪里了。
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFVJJ.png
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECkg4e.png

[lance6716]

“因为 x0 的任意性，所以 f 在[a,b]上有界”这里需要证明