目前 RSA 算法相关的教程和文章都有一个根本性缺陷

[itskingname]

注意我是说这些教程和文章有缺陷，不是说 RSA 算法有缺陷。

我们知道，在 RSA 算法里面，需要选定两个足够大的质数 p 和 q 相乘得到 N，由于对 N 进行分解非常困难，所以能保证 RSA 算法的安全性。网上的文章也是这样说的。

但是，我在网上看了四十多篇 RSA 相关的文章，所有的文章对于如何选定 p 和 q，全都没有讲。都只是轻描淡写地说一句：

选定两个足够大的质数 p 和 q

我现在就问你，你给我找两个质数，每个质数要超过 100 位数。你能在短时间找出来吗？

所以我很好奇，现在的 RSA 库里面，他们是怎么选定这个 p 和 q 的呢？难道是现场 2,3,5,7,11,13...这样一个一个数直到找到足够大的为止？还是提前算好并存在了某个地方，要用的时候直接随机取出来用？

目前 python-rsa 库确实是一个一个数出来的：

[shintendo]

应该是生成足够位数的随机数，判定是不是质数，不是就再取一个

[itskingname]

@shintendo 看了源代码才知道，找 p 和 q 的算法太简单粗暴了。运气不好的话，算一天都遇不上。

[Citrus]

1. 个人并不认为这是教程的缺陷，因为如何选大素数可以单独拎出来说一整篇文章，完全没必要在 RSA 的文章里详细说。就像我告诉你如何检测牛奶的成分，会告诉你取一杯牛奶，但是不会把《奶牛的产后护理》一并附上
2. 请看仔细，Python 并不是从 2 3 5 7 这样一个个的数到足够大。我不知道你是怎么把这段源码理解成这样的。。。这样数每次生成密钥还不到天荒地老。而且一个个数上去只要稍微会一点算法的人都知道是没必要的。因为素数都是各自独立的，找一个大素数完全没必要从 2 数上来
3. 关键函数：rsa.randnum.read_random_odd_int(nbits)

[Citrus]

@itskingname 一天都遇不到的结论是如何得出的？请给出你的计算。RSA 的素数获取是有数学论证的，请不要不给证据的直接猜想。

[coderluan]

@shintendo 我记得应该是从足够位数的最小数开始递增，直到找到一个质数。

PS：生成质数算是和正经问题，但是说这个是别人文章的缺陷就太扯了，我感觉看 RSA 文章的人，是有能力搜索解决这个问题的，写文章不可能所有东西都说清楚的。

[shintendo]

@coderluan 印象中第一个数是随机取的，往后开始递增
@itskingname 不会遇不到，素数的密度有数学论证的

[itskingname]

@Citrus 2,3,5 是我还没有看源代码的时候猜的，发了这篇帖子我去看了一下源代码，然后截图贴过来。因为怕过了 6 分钟改不了了，所以贴了图又直接发。导致前面的文字没有修改

[est]

这就是为啥喊不要自己造加密库轮子的原因

[itskingname]

@Citrus #4，因为它的 randomnum 这个模块里面，获取随机计数是没有去重的。运气不好的情况下，始终获取的都是非质数的奇数。而且会重复获得。

[itskingname]

@shintendo 它不是递增计算的。它就是不停获取这么多位的随机奇数，然后反复验证是不是质数。

[swulling]

@itskingname #2 一天都找不到？你可以自己跑下 benchmark 看看

[mxT52CRuqR6o5]

在数学上去验证一个数是不是素数确实是很慢的，所以你会想不通，但实际操作是现在有快速验证一个数是否是素数的方法，可以快速判断一个数是否是工程实践中可用的素数(验出来的数大概率是素数)

[itskingname]

@swulling 我都说了在运气不好的情况下。现实中不容易出现这样的极端情况。

[falsemask]

Miller-Rabin 素数检测，可以了解一下，java BigInteger 类用的是这个算法

[Mohanson]

素数除了产设随机数再判断是否素数, 没有其它方法了吧?

如果有的话, 等于"找到了素数通项公式"...

[itskingname]

@Mohanson 产生随机数再判断，在大多数情况下效果不错，但极端情况下就很慢，因为 python-rsa 库里面没有做去重处理，可能运气不好多次产生同一个非质数奇数。

而从最小的 nbit 奇数开始逐渐增加 2，一个一个遍历，不会重复。效率平庸，但不容易出现极端情况。

[ETiV]

#14 +1

but 那个算法并不能保证被检测的数 100%是质数
但是够快

[swulling]

@itskingname
1. 统计学就是避免运气的影响，根据素数密度分布能够得到 getprime 耗时的数学期望
2. 验证是否为素数非常快，参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Miller%E2%80%93Rabin_primality_test
3. 性能多做 benchmark，随手做一个 1000 loop 的 128 位素数

In [4]: timeit.timeit("rsa.prime.getprime(128)", setup="import rsa", number=1000)
Out[4]: 4.098196368999993

如果仅仅说，运气不好就 XXX，那么基本上对统计学没有实际的逻辑概念

[mxT52CRuqR6o5]

@itskingname 你这样就不够安全了，生成素数是一次性操作，慢一点也没关系，安全才是第一目的，慢不慢什么的无所谓的，不要本末倒置了

[swulling]

@itskingname #16

1. 如果顺序遍历，那么你的 p 和 q 不是都被人知道了么？这个还有什么安全性可言？

2. #17 我记得 Miller Rabin 通过一些方法可以在特定的范围内，比如 2 的 32 次方内，确定 100%是否为素数。不太懂，有懂的可以补充

3. 其实工程上并不需要 100%的准确，因为验证素数足够快，所以随机选了极大次，都不是素数的概率应该非常的低。具体多少我算不出来，但是应该有人能够算出来。如果这个概率低到了和宇宙射线把你的 bit 反转的概率都还要低，真的要从工程上讨论它么？

[Mutoo]

费马小定理了解一下，一个快速确定一个数是否质数的方法。

[crab]

@geelaw

[swulling]

大概算了下，可能不太准确。2^128 位差不多是在 10^40 左右，1~10^41 中，素数密度大约是 1/41 （根据素数密度定律） [实际上选择的范围比这个小，密度会更低，但是也就是 1/4x 而已，不会有大的影响] 。

根据 benchmark，一次验证素数是 0.5ms 。那么 1000 次（ 0.5s ）内随机挑选的数都不是素数的概率 (40/41)^1000，大概是 10^-11 次方的概率，这个概率低到真的没有任何工程上的考虑价值。

[itskingname]

@mxT52CRuqR6o5 #19 你这样说确实有道理。不能挨着遍历。

[itskingname]

@swulling #23 用数字和概率说就很清楚了，23 楼可以说服我。但你前面楼层只提 benchmark 就没有什么说服力。

[BinRelay]

要是告诉你关于 rsa 的考试题目 一般 pq 都是计算 20 以内的质数你会不会认为考试不合理……

[richard1122]

可是维基百科这里清楚的写了怎么找啊

[kindjeff]

每次看到 RSA 的数学问题一定会回复这篇文章

http://www.matrix67.com/blog/archives/5100

[tzm41]

标题：“目前 RSA 算法相关的教程和文章都有一个根本性缺陷”。
正文：“我现在就问你，你给我找两个质数，每个质数要超过 100 位数。你能在短时间找出来吗？”
已知：《 Introduction to Modern Cryptography 》第 303 页，8.2.1 章为《 Generating Random Primes 》。详细讨论了和 python-rsa 库一样的算法，以及 Bertrand’s postulate 和 Miller–Rabin test。
结论：思而不学则怠。

[pangleon]

@swulling 有理有据 令人信服 这楼主也是没谁了 年轻真好

[nathanw]

你这“运气不好”表述还没有论文来的专业

[geelaw]

素数定理保证一个 n 位随机数是质数的概率是 Omega(1/n)，因此在 O(nk) 次尝试中仍然不出现一个质数的概率是 2^(-Omega(k))。

现实世界里可能会对质数的选择有其他要求，但通常也可以在 Otilde(n) 次内找到。

另外现实世界用的质数判断算法通常是 BPP 的（ Miller-Rabin ），虽然实际上存在着 P 的算法（ AKS ）。

在现代计算机上一天都找不到的概率大概比 1/宇宙里的原子数 还小。

[churchmice]

有个数字货币就是用来找素数的

[swulling]

@swulling 补充下#23

10^40 - 10^41 中素数出现的概率大约是(10^41/41 - 10^40/40) / 10^41，等于 0.9/41

也就是 1/46。那么 0.5s 内找不到素数的概率是 (45/46)^1000 = 3E-10，也很小，不过比 E-11 高了一个数量级。

[liaoliaojun]

实时计算生成所花费的时间太多，所以我认为是提前存储好的质数

[Citrus]

@itskingname #16 那你有没有想过，如果你的随机数生成算法，运气这么不好的多次重复生成了同一个数，还导致你一天都没有生成到有用的数，那这个算法是不是有什么问题呢？？？

[siyemiaokube]

@Mohanson 素数通项公式本来就能写出来，只是没有 O （ 1 ）公式

[siyemiaokube]

@swulling 有一些前人总结了某些范围内 miller robin 的 magic number 表，证明了完备性，wiki 上就有链接

[geelaw]

@liaoliaojun #35 提前存储素数是完全不安全的做法。只要 N 的一个质因数存在于预先存定的质数表里，就可以迅速分解 N。

[roland2015]

深入一点研究 RSA 算法，能找到不少问题的文章

[fbi007130]

因为面向的人不同
大学时候密码学课上把 RSA 分析得很透切，关于楼主提到的问题，也详尽分析过。
同时当时。。。针对 1024bit rsa 也已经有一些破解的办法 /手段了

[no1xsyzy]

@liaoliaojun 你大约需要 (10^41/41-10^40/40)*128/8/1024/1024/1024/1024 = 31107907577789752039967513.66592 PB 来存储这些素数。