三门问题

[iamdaguduizhang]

在知乎上看到一个有意思的问题，评论里各种各样的思维方式也值得思考。所以我想来看一看 v 站的大佬的想法 问题如下：

假设你在参加一个春节抽奖游戏，主持人在三个红包里面分别放了 1 块钱、1 块钱和 1000 块钱。你选中哪一个，你就可以领到对应的钱。当你选定一个红包之后，主持人独自翻开剩下两个红包，然后将有一块钱的红包给你看。

此时，给你一次机会选另外一个红包。

[iamdaguduizhang]

你是换还是不换呢~~

[ryd994]

这个问题去维基百科搜一下就有
要点在于，主持人的行为不是随机的，他一定会打开没有钱的那扇门。所以提供了额外信息。不能再按照纯随机概率来计算了。

[ipwx]

p(第一次选中 1000 元)=1/3
p(第一次没有选中 1000 元)=1-p(第一次选中 1000 元)=2/3
p(最后得到 1000 元) = p(最后得到 1000 元|第一次选中 1000 元) * p(第一次选中 1000 元) + p(最后得到 1000 元|第一次没有选中 1000 元) * p(第一次没有选中 1000 元) = p(最后得到 1000 元|第一次选中 1000 元) / 3 + 2 * p(最后得到 1000 元|第一次没有选中 1000 元) / 3

如果换：

p(最后得到 1000 元|第一次选中 1000 元) = 0
p(最后得到 1000 元|第一次没有选中 1000 元) = 1
p(最后得到 1000 元) = 2/3

如果不换：

p(最后得到 1000 元|第一次选中 1000 元) = 1
p(最后得到 1000 元|第一次没有选中 1000 元) = 0
p(最后得到 1000 元) = 1/3

解答完毕。

[ipwx]

@ryd994 就是纯随机概率问题，只不过很多人都不按照公式一步一步去算，而是凭直觉口算了一个。

严格算法见我上面一楼。

[Mirage09]

这不就是条件概率么...

[iamdaguduizhang]

@ryd994 但是我觉得主持人的行为也不能改变第一次已经发生的事情啊，就比如第一次拿到的是 1 的概率

[iamdaguduizhang]

@ipwx cool

[ryd994]

@ipwx 不是的，如果主持人也不知道哪个门里有钱，而是随机排除一个，那就不会影响剩下的概率。

[ryd994]

@iamdaguduizhang 主持人的行为没有改变你手里的那个。但是因为他打开的一定是两扇门中没有钱的那一个。实际上是帮你排除了一个错误选项。影响了另一个没选中的门的概率

[ipwx]

@ryd994 题面不是随机排除一个。

[ryd994]

@ipwx 所以我说理解的要点在于注意到主持人的行为不是随机的。数学上解题不难，但很多人无法理解，认为这反直觉。那就可以这样向他们解释。

[niubee1]

换， 概率学决定的，但是， 中不中

那就是命

[niubee1]

其实真实的电视节目里，其实都成了“ 这是几匹马 ” 的问题

[polo3584]

换，中不中就另说了

[zhangchao12cn]

纯理性的看待，如果主持人的行为 100%被触发，那么改变与否都不会影响中奖的概率。
不理性的看待，9 成以上的人都会选择更换。
V2 程序员的看待，录制以往 100 期的节目，通过机器学习主持人面部表情与声音的细微差别，找出特征值来判断更换与否。
资本家的看待，在现场开盘口和观众风险对冲

[CastleBUPT]

3L 已经解答得非常清楚了，此帖终结

[iceheart]

说的简单点
中途更换选择 == 3 选 2
你只是排除了第一次选的那个

[HongJay]

经济学中把这种现象称为概率偏见。

行为经济学家把人类自以为是的概率称之为：心理概率；心理概率和客观概率的不吻合，就叫做偏见概率。

[msg7086]

@iamdaguduizhang 第一次中标的几率是三分之一，这是基于完全随机的选择。主持人开门则是完全固定的选择。所以主持人开门会影响第二次选择的概率。
如果第一次选择没中，重选时如果换门这是 50%中，但是因为主持人知道答案，所以换门变成了百分之百中。换门的概率差就在于此。

换个更简单的说法，因为主持人打开的门你不会再选到，所以换门的收益更高。

[bridgeca0]

概率问题里面有些比较有意思的，我想起来看过的另外一个问题：两个人甲乙各持一枚硬币，每次可以自由选择出正或反，一正一反或者一反一正甲赢 2 块钱，两个正乙赢 3 块，两个反乙赢 1 块，这个游戏公平吗，答案参见李永乐老师的股票视频

[smdbh]

不是有正确答案了么

[webee]

3 楼计算是正确的。
也可以换的方式思考：
P(不换选中概率)=P(3 选 1 选中概率)=1/3

由于主持人在剩余 2 个中排除掉一个
P(换选中概率)=P(3 选 2 选中概率)*P(1 选 1 选中概率)=2/3*1=2/3

推广到 n 个则是：
P(不换选中概率)=1/n
P(换选中概率)=(n-1)/n*1/(n-2)=(n-1)/n/(n-2)

n>=3 时，P(换选中概率)>P(不换选中概率)

[laminux29]

跑了一百万次，模拟了一下：
不换门概率：33.35%
换门概率：66.65%

[behanga]

搜索 李永乐 三门问题 你就知道了

[iamdaguduizhang]

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