Automorphism Group

定义 Definition

automorphism group（自同构群）：在数学中，指某个对象（如群、环、图、向量空间、几何结构等）上所有自同构（把对象映射到自身并保持其结构的双射）在复合运算下形成的群，常记为 **Aut(X)**。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɔːtoʊˈmɔːrfɪzəm ɡruːp/

例句 Examples

The automorphism group of a triangle has six elements.
一个三角形的自同构群有六个元素。

In Galois theory, the automorphism group of a field extension encodes deep information about solvability of polynomials.
在伽罗瓦理论中，一个域扩张的自同构群蕴含关于多项式可解性的深层信息。

词源 Etymology

automorphism 来自 auto-（“自身”）+ -morph-（“形状/形式”，源自希腊语 morphē）+ -ism（名词后缀），字面意思接近“对自身的保持形态的变换”。group 在数学语境中指“群”，即满足封闭性、结合律、单位元与逆元等性质的代数结构。合起来，automorphism group 就是“对象的所有自同构所组成的群”。

相关词 Related Words

• Automorphism
• Isomorphism
• Homomorphism
• Endomorphism
• Symmetry Group
• Group Action
• Galois Group
• Invariant

文献与著作中的用例 Literary / Notable Works

• Dummit & Foote, Abstract Algebra（抽象代数经典教材，频繁讨论 Aut(G)、Aut(K) 等）
• Serge Lang, Algebra（在群、域与扩张等章节中系统使用“automorphism group”）
• Joseph Rotman, An Introduction to the Theory of Groups（群论教材中详述群的自同构群）
• J.-P. Serre, Galois Cohomology（与伽罗瓦群、自同构群及其上同调结构相关）
• Robin J. Wilson, Introduction to Graph Theory（讨论图的自同构与自同构群，即图的对称性）