使用泊松分布计算和概率直接相乘有什么区别

[DuDuDu0o0]

今天下午看书想到一个问题。
假设下 50 年一遇的暴雨的概率是 1 ／ 50,
那么我想预测接下来两年都下暴雨的概率是多少，这肯定是要使用泊松分布去计算的。算出来之后是 0.0007

但是如果直接使用 概率相乘的话有什么错吗 (1/50) *(1/50)。答案是 0.0004


请问我忽略了什么前置条件吗？

[lance6716]

展开讲讲

[Jooooooooo]

这咋会用泊松分布去算...

[oldshensheep]

如果每年的下雨概率是随机独立的那就是二项分布啊……
自然界中很多事件都是泊松分布，用二项分布的算法是错得应该。

[rudy1224]

泊松是单位时间内多少次

[ipwx]

“当二项分布的 n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为 np 。通常当 n≧20,p≦0.05 时，就可以用泊松公式近似得计算。”

你的例子里面 n = 2 ，太小了。

[ipwx]

ps ，泊松分布一般用于连续分布不需要考虑这么多的原因是，连续分布可以看做无限小时间 δt 内发生某件事的概率都等于一个无限小的 p （连续时间推广的二项分布）。这种模型下显然 n 是无限大，p 是无限小，取极限得到泊松分布

[xsx107]

OP 我觉得你没看懂柏松分布。

首先，“ 假设下 50 年一遇的暴雨的概率是 1 ／ 50”描述的是一个随机变量 X 符合柏松分布，其均值（或者说参数）是 1/50 。如果要赋予一定的现实意义，X 描述的是一年内发生均值为 1/50 的暴雨（也就是 50 年一遇暴雨）的次数。P(X=k)描述的是一年内发生 k 次的概率。

如果你要计算一年内发生均值为 1/50 暴雨一次的概率，你用 P(X=1)然后套柏松分布公式算。让我觉得你没看懂的是你要算“接下来两年都下（ 50 年一遇的）暴雨的概率”，而你尝试用柏松分布。

下面分情况讨论你说的“接下来两年都下（ 50 年一遇的）暴雨的概率”的意思：
1. 你要算第一年下了该种大雨，同时第二年又下了该种大雨，此时你应该用 P(X=1)*P(X=1). X 是我上面定义的柏松分布。
2. 你要算的是区间为两年，但是两年内下了一场 50 年一遇大雨的概率。那么你需要一个新的柏松分布随机变量 Y 。Y 的均值是 1/25 （想象年*的计量现在是 2 年，所以 50 年一遇变成了 25 年*一遇）。所以该概率为 P(Y=1)。
3. 你要算的是区间为两年，但是两年内下了两场 50 年一遇大雨的概率：P(Y=2)。

[ipwx]

@xsx107 我觉得你没有看懂泊松分布。

楼主的 0.007 是令 λ = 2 * (1/50) = 1/25, k = 2 代入泊松分布求得的。他这一做法的问题是 n 太小以至于泊松分布不能有效逼近二项分布。泊松分布和二项分布的关系是在事件可以无限次发生时，无限大 n 之下取二项分布极限得到的连续时间分布。不像二项分布是离散时间分布。

不信你看这个计算结果：

https://ideone.com/iLssqO

```
import numpy as np

Poisson = lambda L,k: np.exp(k * np.log(L) - np.sum(np.log(np.arange(1,k+1))) - L)
Binomial = lambda p,n,k: np.exp(np.sum(np.log(np.arange(1, n+1))) - np.sum(np.log(np.arange(1, k+1))) - np.sum(np.log(np.arange(1,n-k+1))) + k*np.log(p) + (n-k)*(np.log1p(-p)))

# 2 年遇到 2 次 50 年一遇暴雨
print(Poisson(2*(1/50),2))
print(Binomial(1/50,2,2))

# 30 年遇到 4 次 50 年一遇暴雨
print(Poisson(30*(1/50),4))
print(Binomial(1/50,30,4))

# 800 年遇到 17 次 1000 年一遇暴雨
print(Poisson(800*(1/1000),17))
print(Binomial(1/1000,800,17))
```

输出

```
0.0007686315513218588
0.0004000000000000001
0.0029635828349077443
0.002593150704191794
2.844629294599255e-17
2.4372248967573228e-17
```

可以看到 n 很大 p 很小时，泊松分布是二项分布很好的近似。

（上述计算过程全程使用 log 计算，避免精度问题）

[xsx107]

@ipwx 我觉得你没看清楚我的回复，而且我不认为我的概率论有任何问题，不然我教学生都教错了。

首先，我不清楚楼主的楼主指的“接下来两年都下暴雨”指的是什么，我也没有去验证楼主的概率是怎么来的，所以我解释了不同种概率的计算过程。

其次，你给的概率计算跟我说的不是一样的吗。如果楼主说的是 2 年内遇到两次 50 年一遇大雨的概率，那么就是 P(Y=2), Y 的符合均值是 1/25 的柏松分布。

如果楼主指的是任意两年，第一年发生有且只有一次 50 年一遇的大雨，并且第二年也发生有且只有一次，那么我们需要一个新的随机变量 Z ，含义为一年内发生一次 50 年一遇大雨的概率。该变量是伯努利分布，参数 p=P(X=1)，其中 X 是柏松分布，均值为 1/50 。显然 Z 在第一年和第二年都是 iid 。那么连续两年（意思是第一年有 50 年一遇的大雨，同时第二年也有）发生 50 年一遇大雨的概率为 p^2.

最后，你说的没有错，事件发生在时间上是连续的，所以自然不能用二项分布求。如果要用二项分布，可以定义一个新随机变量 V ，该变量符合伯努利分布，是每小时（按你说的 N 很大所以时间区间很小）发生 1/50 年一遇大雨的概率 q=1/50/365/24 （近似值）。然后可以用二项分布求两年（ 24*365*2 小时）内发生两次 50 年一遇大雨的概率。该概率会非常接近 P(Y=2)。

[xsx107]

@ipwx

[xsx107]

@ipwx 不好意思上面那个不小心按到回复了。我应该补充一下，柏松分布 P （ Y=2 ）算出来的是在两年区间内，任意时间发生两次的概率，所以跟第一年发生有且只有一次，同时第二年发生有且只有一次，是有区别的。

[DuDuDu0o0]

@xsx107 @ipwx 感谢几位大佬地回复，不要讨论出火气。
两年都下暴雨是指，接下来两年，每年都发生过暴雨（一年一次）。

我昨晚又看了些资料，我现在的理解是：二项只能用在单位时间内发生一个现象的情况，所以下暴雨这个现象不能用“年”这个单位时间。

[ipwx]

@xsx107

"最后，你说的没有错，事件发生在时间上是连续的，所以自然不能用二项分布求。如果要用二项分布，可以定义一个新随机变量 V ，该变量符合伯努利分布，是每小时（按你说的 N 很大所以时间区间很小）发生 1/50 年一遇大雨的概率 q=1/50/365/24 （近似值）。然后可以用二项分布求两年（ 24*365*2 小时）内发生两次 50 年一遇大雨的概率。该概率会非常接近 P(Y=2)。"

“柏松分布 P （ Y=2 ）算出来的是在两年区间内，任意时间发生两次的概率，所以跟第一年发生有且只有一次，同时第二年发生有且只有一次，是有区别的。”

同意。所以锅是楼主的，他的问题陈述有点问题（笑~）

[ipwx]

@DuDuDu0o0

“二项只能用在单位时间内发生一个现象的情况，所以下暴雨这个现象不能用“年”这个单位时间。”

没错，所以 @xsx107 也说了，"柏松分布 P （ Y=2 ）算出来的是在两年区间内，任意时间发生两次的概率，所以跟第一年发生有且只有一次，同时第二年发生有且只有一次，是有区别的。"

直观感觉一下你们这两句话说的是一件事。只不过 @xsx107 说的太一板一眼的（数学形式定义）了，而我的习惯是用感受数学形式。所以上来我不太适应。

当然我说的不是生活经验去感受。我的倾向是对某个抽象层次建立直观感受以后，用这个抽象层次去理解更高抽象层次的数学概念。直接套公式，纯公式推导我很弱的。我只能先建立对线性空间和正交基的直观理解，我才能理解 PCA 和傅里叶分解，才会推公式解决问题。如果我没理解正交基，我对傅里叶其实一点都不会用。。

所以我对泊松分布这玩意儿的数学形式其实不太会用，直到我用无限小单位时间的二项分布去理解它以后，我才会用了。。。

[DuDuDu0o0]

@ipwx 感谢，再请教一下，如果是”第一年发生有且只有一次，同时第二年发生有且只有一次“，这种前提的话，使用二项分布是正确的吗？

[necomancer]

1/50 1/50 是如果按照一年就下一场雨，要么下要么不下，就是扔一个超有偏硬币 1:49 ，扔两次，连续扔出两个正面的概率

用柏松分布的意思是，接下来的两年（单位时间内）会发生很多雨，但是其中有种大雨（ 50 年一遇，或者 1 年 1/50 遇，或者 2 年 1/25 遇）在单位时间（两年内）发生 2 次的概率

[necomancer]

不是要么下要么不下，而是要么下 50 年大雨要么不下 50 年的大雨