Second Fundamental Form

释义 Definition

第二基本形式：微分几何中描述曲面在空间中“弯曲方式”的一个二次型（对称双线性形式）。它把曲面法向方向的变化与切向方向的位移联系起来，用于刻画曲率（如主曲率、高斯曲率、平均曲率等）。常记作 II。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌsɛkənd ˌfʌndəˈmɛntəl fɔːrm/

例句 Examples

The second fundamental form measures how a surface bends in space.
第二基本形式衡量一个曲面在空间中的弯曲程度。

Using the first and second fundamental forms together, we can compute Gaussian curvature at each point of the surface.
结合第一基本形式与第二基本形式，我们可以计算曲面各点的高斯曲率。

词源 Etymology

“fundamental form（基本形式）”在经典微分几何里指用来描述曲面局部几何性质的“形式”（可理解为一种表达几何量的数学对象）。之所以叫“second（第二）”，是因为通常先引入第一基本形式（描述曲面上的内在度量/长度与角度），再引入第二基本形式（描述嵌入到三维空间后的外在弯曲）。这一命名体系在19世纪曲面论（与高斯、黎曼等人的工作）中逐步固定下来。

相关词 Related Words

• First Fundamental Form
• Shape Operator
• Weingarten Map
• Normal Curvature
• Gaussian Curvature
• Mean Curvature
• Principal Curvature
• Second Fundamental Theorem (Surfaces)

文学/著作中的用例 Literary Works

• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces（系统讲解第一、第二基本形式与曲率）
• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry（以更广的视角讨论基本形式与形算子）
• Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry（常用于本科/研究生入门教材，含第二基本形式的标准推导）
• Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry（以曲线与曲面为主线介绍第二基本形式及应用）