Integral Curve

释义 (Definition)

积分曲线（也常译作“积分曲线/积分线”）：在常微分方程或向量场中，表示某个微分方程解的曲线；直观上，它在每一点的切向量都与给定向量场一致（或平行），因此也可理解为系统“流动/运动”的轨迹。（在不同教材中也可能与 trajectory/flow line 等概念紧密相关。）

发音 (IPA)

/ˈɪntɪɡrəl kɝːv/

例句 (Examples)

An integral curve shows how the system evolves over time.
积分曲线展示了系统如何随时间演化。

For a smooth vector field on a manifold, each maximal integral curve corresponds to the flow starting from an initial point, as long as the solution exists.
对于流形上的光滑向量场，只要解存在，每一条极大积分曲线都对应从某个初始点出发的流（flow）。

词源 (Etymology)

integral 来自拉丁语 integer（“完整的、整体的”），在数学中引申为“通过积分得到/与积分有关”。curve 来自拉丁语 curva（“弯曲的线”）。组合成 integral curve，表示“由微分方程（通过积分求解）得到的曲线”，该术语常见于19世纪以来的微分方程、微分几何与动力系统语境中。

相关词 (Related Words)

• Solution
• Trajectory
• Vector Field
• Differential Equation
• Flow
• Streamline
• Phase Portrait
• Manifold

文学与经典著作中的用例 (Literary Works)

• Vladimir I. Arnold, Ordinary Differential Equations（《常微分方程》）——用“integral curves”讨论向量场与解曲线的几何意义。
• Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos（《非线性动力学与混沌》）——在相图与流的语境中使用“integral curves”。
• Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos（《微分方程、动力系统与混沌导论》）——将积分曲线与流、轨道等概念并置讲解。