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这个函数满足以下特性
- 在 x >= 0 时是一个向下凸的单调递增函数 (类似二次函数)
- 经过 (0, 0) 点和 (t, 1) 点 (其中 t 是一个给定的参数, t > 0)
- 可以通过参数调整向下凸的程度
- 调整参数时，函数在 (0, 0) 处的导数在 (0, 1/t) 之间变化
y = k * x ^ a (k > 0, a > 1) 是一个简单的函数，可以满足前 3 点，但是可惜的是这个函数在 (0, 0) 处的导数始终是 0
请教一下，有哪些简单的函数可以同时满足以上 4 点呢？
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NessajCN 2023-07-03 16:42:09 +08:00
y=kx^a+px^(a-1) 就行了呀
或者你可以继续往后加+x^(a-2)....+x |
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GressJoe 2023-07-03 16:46:47 +08:00
f(x) = 3 * (x/t)^2 - 2 * (x/t)^3 chatgpt 说的
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rrfeng 2023-07-03 16:47:56 +08:00  1
y = k * x ^ a
往左下平移一下不就行了…… |
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leo108 2023-07-03 16:49:35 +08:00
GPT 虽然数学不太行，但这道题还真答对了
y = a*x^2 + (1-a*t)*x ，其中 a ∈ (0, 1/t) 调整 a 即可实现下凸的程度变化以及 (0, 0) 处的导数 |
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Champa9ne 2023-07-04 10:52:34 +08:00
这是啥应用场景，一时之间也没想到。很好奇。
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yxd19 2023-07-04 16:40:26 +08:00 1
当 0\leq x \leq t 时：(x,y)满足隐函数：(x/t-x_c)^2+(y-y_c)^2=x_c^2+y_c^2
当 x \geq t 时，将曲线从(t, 1)点沿着斜率延伸为射线。 其中 x_c = k, y_c = 1 - k k < 0 为参数。 说明：令 u=x/t, v=y ，则前一段曲线在 uv 平面上表示圆心为(x_c, y_c)，过原点的圆弧。由于圆心在(0, 0)和(1,1)的垂直平分线（即 x_c+y_c=1 ）上，所以圆弧也过(1,1)点。当圆心在(0,1)上时，圆弧是四分之一圆，圆弧在(0,0)点的斜率为 0 ，在(1,1)点的斜率为无穷大。当圆心在(0,1)上方，即 k < 0 时，圆弧的弧度小于四分之一圆，在两端点的斜率均为正。当 k 趋于负无穷时，圆弧退化为连接(0,0)和(1,1)的直线，斜率为 1 。将 uv 平面坐标变换为 xy 平面即为所求。 |
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yxd19 2023-07-04 16:50:44 +08:00
根据 y\leq y_c ，可以将隐函数变换为
y = y_c - \sqrt{- x^2/t^2 + 2 x_c x / t + y_c^2} 曲线在(t,1)处斜率为\frac {y_c} {-tx_c}，直线方程为$y=-\frac{y_c} {tx_c} x + \frac{y_c}{x_c} + 1$ |
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