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实例：
B 站看到一个北大的数学教授说不会做孙子拿回来的奥数题。还有一个上次视频看到一个菲尔兹奖得主也不会做奥数题。我没学过奥数。但是看过讲奥数题的视频。感觉不复杂的知识但是可以设计出复杂的数学题。而解这个数学题确实需要“聪明”。
现在学习微积分，有些函数的不定积分对我来说很复杂。解题过程中可能交替使用换元法，三角函数变换，二项式定理，分部积分。像是从迷宫里走出来一样。有种破译密码的感觉。我主观看法是，如果能解这样的数学题，要么天生聪明，要么多刷题数能生巧，以勤补拙。
1 、研究纯数学的数学家需要解奥数题的那种聪明么？如果需要为什么数学教授不会解奥数题。不需要？？我曾不知死活的看过一点数学分析。感觉和微积分的差别还是很明显的。很多证明过程，还是很需要数学的聪明和直觉的。确实体现了高智商。但是这些聪明的数学教授为什么不会做奥数题呢？
2 、工科学生学数学应该在哪方面多下功夫？
首先，这里面主要是普通人计算时间精力投入产出比的问题（天才不用考虑此问题，所有能学的都学了就可以了）。
其次，这里不考虑应试问题，只是考虑将来在本专业将数学作为工具使用的问题。
两个问题：
A 、工科生不做纯数学研究，大部分学的是微积分而不是数学分析，像那种很难的求解不定积分的问题需要花时间去刷题么？有必要么？毕竟现在用 mathematics 也能解很多不定积分。且工作中都是各管一段，没必要每个人重复造轮子吧。真遇到 mathematics 解不了的，还可以找外脑。工科生不是数学家。总不能别人写了 numpy，我不用，我非要自己重写一个吧。
B 、我看的书在讲不定积分的时候介绍了富比尼定理（ fubini's 定理），定理里说明应用的前提条件是函数在积分区域内连续。但是后面的例题对这一点也没有体现。给的例子基本都是连续函数的例子。但是在课后题当中有一道问答题。说某函数交换积分顺序后结果唯一么？你一做题发现结果不唯一。电脑绘图发现该函数在积分区域不连续。但是为什么不连续就不能应用 fubini's 定理呢？我头脑中始终在想一块面包，无论是先横着切再竖着切，还是先竖后横，最终把切成的小块累加起来都应该等于这块面包的体积。为什么这个特殊的函数，积分顺序不同结果就不同呢？为了满足好奇心，我去看了苏德矿的公开课、MIT 多元微积分的公开课。发现在课上他们都没有讲富比尼定理（ fubini's 定理）。重点介绍的是以一元积分的思想帮助学生理解二重积分的概念。让他们知道这是求体积，也介绍了不同的积分顺序可以使某些二重积分的题解起来比较容易。但是没有介绍富比尼定理，更没有介绍该定理的应用前提。
我感觉这就是给工科生埋了个大坑。我要不是做书后练习题，我也意识不到这个坑的存在。那浙大和 MIT 的数学课（应该是非数学专业的课程）都没有讲富比尼定理。将来我们这工科生工作中应用数学工具时出现沉默错误怎么办。到时房倒屋塌，导弹偏航。
这是我发现的一个“坑” ，我自己没发现的“坑”还不知道有哪些。但是作为工科生似乎也不可能达到数学专业学生的水准。所以怎么办才好？
以上 A B 两个问题。比较困惑。不知道各位老师有什么好建议！使工科生少走弯路到达数学的彼岸。这里说的彼岸不是数学的彼岸。而是将来可以正确的比较熟练的使用数学。
B 站看到一个北大的数学教授说不会做孙子拿回来的奥数题。还有一个上次视频看到一个菲尔兹奖得主也不会做奥数题。我没学过奥数。但是看过讲奥数题的视频。感觉不复杂的知识但是可以设计出复杂的数学题。而解这个数学题确实需要“聪明”。
现在学习微积分，有些函数的不定积分对我来说很复杂。解题过程中可能交替使用换元法，三角函数变换，二项式定理，分部积分。像是从迷宫里走出来一样。有种破译密码的感觉。我主观看法是，如果能解这样的数学题，要么天生聪明，要么多刷题数能生巧，以勤补拙。
1 、研究纯数学的数学家需要解奥数题的那种聪明么？如果需要为什么数学教授不会解奥数题。不需要？？我曾不知死活的看过一点数学分析。感觉和微积分的差别还是很明显的。很多证明过程，还是很需要数学的聪明和直觉的。确实体现了高智商。但是这些聪明的数学教授为什么不会做奥数题呢？
2 、工科学生学数学应该在哪方面多下功夫？
首先，这里面主要是普通人计算时间精力投入产出比的问题（天才不用考虑此问题，所有能学的都学了就可以了）。
其次，这里不考虑应试问题，只是考虑将来在本专业将数学作为工具使用的问题。
两个问题：
A 、工科生不做纯数学研究，大部分学的是微积分而不是数学分析，像那种很难的求解不定积分的问题需要花时间去刷题么？有必要么？毕竟现在用 mathematics 也能解很多不定积分。且工作中都是各管一段，没必要每个人重复造轮子吧。真遇到 mathematics 解不了的，还可以找外脑。工科生不是数学家。总不能别人写了 numpy，我不用，我非要自己重写一个吧。
B 、我看的书在讲不定积分的时候介绍了富比尼定理（ fubini's 定理），定理里说明应用的前提条件是函数在积分区域内连续。但是后面的例题对这一点也没有体现。给的例子基本都是连续函数的例子。但是在课后题当中有一道问答题。说某函数交换积分顺序后结果唯一么？你一做题发现结果不唯一。电脑绘图发现该函数在积分区域不连续。但是为什么不连续就不能应用 fubini's 定理呢？我头脑中始终在想一块面包，无论是先横着切再竖着切，还是先竖后横，最终把切成的小块累加起来都应该等于这块面包的体积。为什么这个特殊的函数，积分顺序不同结果就不同呢？为了满足好奇心，我去看了苏德矿的公开课、MIT 多元微积分的公开课。发现在课上他们都没有讲富比尼定理（ fubini's 定理）。重点介绍的是以一元积分的思想帮助学生理解二重积分的概念。让他们知道这是求体积，也介绍了不同的积分顺序可以使某些二重积分的题解起来比较容易。但是没有介绍富比尼定理，更没有介绍该定理的应用前提。
我感觉这就是给工科生埋了个大坑。我要不是做书后练习题，我也意识不到这个坑的存在。那浙大和 MIT 的数学课（应该是非数学专业的课程）都没有讲富比尼定理。将来我们这工科生工作中应用数学工具时出现沉默错误怎么办。到时房倒屋塌，导弹偏航。
这是我发现的一个“坑” ，我自己没发现的“坑”还不知道有哪些。但是作为工科生似乎也不可能达到数学专业学生的水准。所以怎么办才好？
以上 A B 两个问题。比较困惑。不知道各位老师有什么好建议！使工科生少走弯路到达数学的彼岸。这里说的彼岸不是数学的彼岸。而是将来可以正确的比较熟练的使用数学。
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statumer 2021-07-11 22:54:52 +08:00  2
看主楼，楼主应该是个大一学生。工科生可以学点抽象代数，对提高你的抽象思维水平有很大益处，并且为你未来学习线性代数作铺垫。不定积分基本上不需要太努力学，因为 Liouville 定理表明有大量的不定积分是绝对不可能用有限的函数组合表达的，但是高数中提到的基本技术都应全面掌握，这对你未来学习复变，以拉普拉斯变换为代表的频域技术的一系列理论来说至关重要。
fubini 定理对工科学生来说并不重要，因为在应用层面，可以大量应用一些理论上不成立的数学技术，例如积分和微分符号随机交换而无需检查被积函数是否规整。fubini 不成立的情况一般是积分区域内函数发散等情况，这种情况就是被积函数不够温顺，当你不太确定自己的数学直觉是否正确时可以咨询数学方面的专家。 |
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huzhikuizainali OP @statumer 谢谢回复。
因为在应用层面，可以大量应用一些理论上不成立的数学技术，—————这句话不太明白。可否举个常见的比较简单的例子？ |
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