Superharmonic Function

释义 Definition

超调和函数（superharmonic function）：在势理论与偏微分方程中常见的一类函数。直观上，它“比调和函数更向上拱”，满足平均值不等式：在一个区域内，函数在某点的取值不小于该点附近球面/球内的平均值。更严格的常用刻画包括：函数通常要求上半连续且不恒为 (+\infty)，并在分布意义下满足 (\Delta u \le 0)（拉普拉斯算子非正）。
（在不同教材中，技术条件表述可能略有差异，但核心思想一致。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌsuːpərhɑːrˈmɒnɪk ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

A superharmonic function satisfies a mean value inequality on every ball in its domain.
超调和函数在其定义域内的每个球上都满足一种平均值不等式。

By the Riesz decomposition theorem, a nonnegative superharmonic function can be decomposed into a harmonic part plus a potential term.
由里斯分解定理可知，非负的超调和函数可以分解为“调和部分”加上“势（potential）项”。

词源 Etymology

super- 在拉丁语来源中有“在上、超过”的含义；harmonic 源自希腊语 harmonikos（与和谐/协调有关），在数学里“harmonic function（调和函数）”指满足拉普拉斯方程 (\Delta u = 0) 的函数。合在一起，superharmonic 表示在调和函数框架下满足“上方控制/上界性质”的那类函数（对应地还有 subharmonic，常满足相反方向的不等式）。

相关词 Related Words

• Harmonic
• Subharmonic
• Laplacian
• Potential
• Green's Function
• Mean Value Property
• Upper Semicontinuous
• Riesz Decomposition

文学与名著用例 Literary Works

• Harmonic Function Theory（Axler, Bourdon & Ramey）——系统讨论调和/次调和/超调和函数等基本理论。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）——在PDE框架下涉及与拉普拉斯算子相关的函数性质与不等式。
• Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart（Armitage & Gardiner）——势理论经典教材，频繁使用 superharmonic function 概念。
• Brownian Motion and Classical Potential Theory（Port & Stone）——将布朗运动与势理论联系起来，超调和函数是核心工具之一。