Stationary Distribution

定义 Definition

stationary distribution（平稳分布/驻分布）：在马尔可夫链或随机过程里，一种概率分布；如果系统的初始分布就是它，那么经过一步或多步转移后分布仍保持不变。常用来描述长期稳定状态下各状态出现的概率。（在更广义的随机过程/动力系统中也有相关用法。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsteɪʃənɛri ˌdɪstrɪˈbjuːʃən/

例句 Examples

A stationary distribution tells you the long-run probability of each state.
平稳分布告诉你每个状态在长期运行中的概率。

If the Markov chain is irreducible and aperiodic, it has a unique stationary distribution, and the state distribution converges to it from any starting point.
如果马尔可夫链是不可约且非周期的，它有唯一的平稳分布，并且无论从哪个初始状态开始，状态分布都会收敛到该平稳分布。

词源 Etymology

stationary 来自 station（“站、停驻”）与形容词后缀 -ary，核心含义是“静止的、保持不变的”。distribution 来自拉丁语 distribuere（“分配、分布”）。合在一起，字面意思就是“保持不变的分布”，对应其在概率论中“经过转移仍不变”的定义。

相关词 Related Words

• Markov Chain
• Transition Matrix
• Invariant Measure
• Ergodic
• Aperiodic
• Irreducible
• Steady State
• Equilibrium
• Detailed Balance
• Mixing Time

文献与作品 Literary / Notable Works

• Markov Chains（J. R. Norris）：在讨论链的长期行为、遍历性与收敛时大量使用 stationary distribution。
• Introduction to Probability Models（Sheldon M. Ross）：在马尔可夫链与排队模型章节中用该术语描述稳态概率。
• Probability: Theory and Examples（Rick Durrett）：在随机过程与马尔可夫链相关内容中出现该概念。
• 经典论文：Google 的 PageRank 相关论文（如 Brin & Page 的工作）将网页排名解释为随机游走的 stationary distribution。