Radius of Convergence

释义 Definition

（幂级数或泰勒级数的）收敛半径：以展开中心为圆心，在复平面（或数轴）上使该级数收敛的最大距离。通常表示为 (R)：当 (|x-a|<R) 时收敛；当 (|x-a|>R) 时发散；边界 (|x-a|=R) 需另行判定。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈreɪdiəs əv kənˈvɜːrdʒəns/

例句 Examples

The radius of convergence is 3.
这个级数的收敛半径是 3。

To find the radius of convergence, we can apply the ratio test to the power series and then check what happens at the endpoints.
要找出收敛半径，我们可以对幂级数使用比值判别法，然后再检查端点处的情况。

词源 Etymology

radius 源自拉丁语 radius（“射线、辐条、半径”），引申为“从中心到边界的距离”。convergence 来自拉丁语前缀 *con-*（“一起”）+ vergere（“倾向、转向”），表示“趋于同一点/同一结果”。“radius of convergence” 是数学分析中用于描述幂级数在中心附近能“趋于”有限值的范围的术语。

相关词 Related Words

• Analytic
• Converge
• Diverge
• Endpoint
• Power Series
• Ratio Test
• Taylor Series
• Uniform Convergence

文学与经典著作 Literary Works

• Complex Analysis（Lars Ahlfors）：在讨论幂级数与解析函数时使用“radius of convergence”。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在级数与函数展开的章节中涉及收敛半径概念。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）：在幂级数、解析延拓等内容中频繁出现该术语。
• Introduction to Real Analysis（Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert）：在幂级数基本理论部分提及收敛半径与端点判断。