Linear Combination

定义 Definition

linear combination（线性组合）：在数学（尤其是线性代数）中，指把若干个向量（或函数、矩阵等）分别乘以系数，然后相加得到的新对象。形式常写为
(a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n)。
（在更一般的语境中，也可指“线性方式的组合”，但最常见用法是数学意义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlɪniər ˌkɑːmbəˈneɪʃən/

例句 Examples

A vector in the plane can be written as a linear combination of two basis vectors.
平面中的一个向量可以写成两个基向量的线性组合。

If a function can be expressed as a linear combination of eigenfunctions, the system’s behavior becomes easier to analyze.
如果一个函数能表示为若干特征函数的线性组合，那么系统的行为就更容易分析。

词源 Etymology

linear 源自拉丁语 linea（“线、线条”），引申为“沿直线的、一次的”。combination 来自拉丁语 combinare（“结合在一起”）。合起来的“线性组合”强调：用“系数相乘再相加”的方式，把多个对象按“线性”的规则组合成一个新对象。

相关词 Related Words

• Coefficient
• Vector
• Basis
• Span
• Linear independence
• Eigenvector
• Matrix
• Superposition

文学/著作中的用例 Literary Works

• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：大量使用“linear combination”来解释张成空间与基。
• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）：在讨论张成（span）与线性无关时频繁出现。
• Linear Algebra and Its Applications（David C. Lay）：用“linear combination”作为初学者理解向量空间的核心概念之一。