Inverse Function Theorem

释义 Definition

反函数定理：在多元微积分/微分几何中，如果一个可微映射在某点的导数（雅可比矩阵）可逆（行列式不为 0），那么在该点附近它存在局部反函数，且这个反函数同样可微（更一般地，若原函数为 (C^k)，反函数也为 (C^k)）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɪn.vɝːs ˈfʌŋk.ʃən ˈθiː.ə.rəm/

例句 Examples

The inverse function theorem guarantees a local inverse near the point.
反函数定理保证在该点附近存在一个局部反函数。

If the Jacobian determinant is nonzero at (a), then by the inverse function theorem the map is locally a diffeomorphism around (a).
如果在 (a) 处雅可比行列式不为零，那么由反函数定理可知该映射在 (a) 附近局部是一个微分同胚。

词源 Etymology

“Inverse” 来自拉丁语 inversus（“颠倒的、反向的”）；“function” 来自拉丁语 functio（“执行、功能”）；“theorem” 来自希腊语 theōrēma（“可被观察/证明的命题”）。合起来指“关于函数在局部可逆的证明性命题”。

相关词 Related Words

• Jacobian
• Diffeomorphism
• Implicit Function Theorem
• Derivative
• Continuity
• Manifold
• Local Inverse
• Bijection

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis：在多元微分部分用反函数定理建立局部可逆与可微性的标准框架。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds：以反函数定理为核心工具，推动到流形上的微积分与坐标变换。
• Serge Lang, Differential Manifolds：在微分流形与映射的局部性质（如局部微分同胚）中频繁使用该定理。
• James R. Munkres, Analysis on Manifolds：系统讨论反函数定理与隐函数定理及其在坐标化、变换中的应用。