Gaussian Hypergeometric Function

定义 Definition

高斯超几何函数：一种经典的“特殊函数”，通常记作 **({}_2F_1(a,b;c;z))**，由超几何级数定义，并满足一个著名的二阶线性常微分方程（超几何微分方程）。它在积分计算、微分方程解、物理与工程建模（如势场、波动、量子力学）、以及复分析中广泛出现。（另有更一般的“广义超几何函数” ({}_pF_q)。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɡaʊsiən ˌhaɪpərdʒiəˈmɛtrɪk ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The Gaussian hypergeometric function is often written as ₂F₁(a, b; c; z).
高斯超几何函数常写作 ₂F₁(a, b; c; z)。

By transforming the differential equation into hypergeometric form, we can express the solution in terms of the Gaussian hypergeometric function and analyze its behavior near singular points.
通过把微分方程化为超几何形式，我们可以用高斯超几何函数表示解，并分析其在奇点附近的性质。

词源 Etymology

“Gaussian（高斯的）”来自数学家 Carl Friedrich Gauss（卡尔·弗里德里希·高斯），因为他系统研究了该函数及其性质；“hypergeometric（超几何的）”由 hyper-（超越、超过） + geometric（几何的） 构成，指其级数系数之比呈现“比几何级数更一般”的结构；“function（函数）”源自拉丁语 functio，意为“执行、作用”。

相关词 Related Words

• Hypergeometric Series
• Generalized Hypergeometric Function
• Confluent Hypergeometric Function
• Gamma Function
• Beta Function
• Pochhammer Symbol
• Special Function
• Differential Equation

文学与经典著作中的出现 Literary Works

• Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions（《数学函数手册》）：以 ₂F₁ 为核心条目之一，列出大量恒等式与性质。
• Bateman Manuscript Project, Higher Transcendental Functions（《高等超越函数》）：系统整理超几何函数及其推广。
• Whittaker & Watson, A Course of Modern Analysis（《现代分析教程》）：在复分析与微分方程背景下讨论超几何函数。
• George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy, Special Functions（《特殊函数》）：以超几何函数为统一框架联系多类经典函数。