Semicontinuity

Definition 定义

半连续性：数学分析与拓扑中的性质，描述函数在某点附近“只允许朝一个方向跳变”。常见分为：

• 下半连续（lower semicontinuous, l.s.c.）：函数值不容易“突然变小”，可理解为在点附近的极限下界不低于该点函数值。
• 上半连续（upper semicontinuous, u.s.c.）：函数值不容易“突然变大”。
  （也存在集合值映射的半连续等更广义用法。）

Pronunciation 发音

/ˌsɛmiˌkɑːntɪˈnjuːɪti/

Examples 例句

A lower semicontinuous function can have jump discontinuities upward.
下半连续函数可以出现向上的跳跃不连续。

In optimization, lower semicontinuity helps ensure that a minimizer exists on a compact set.
在优化中，下半连续性常用于保证在紧致集上最小值点（极小点）存在。

Etymology 词源

semi- 表示“半、部分”，continuity 表示“连续性”。合起来字面义为“半连续”：并非完全连续，而是只在某个方向上保留类似连续的良好性质。该术语主要在19–20世纪的分析、拓扑与变分法发展中逐渐固定下来。

Related Words 相关词

• Continuity
• Discontinuity
• Limit
• Topology
• Compactness
• Lower Semicontinuous
• Upper Semicontinuous
• Convexity
• Optimization
• Variational

Literary Works 文学/著作例证

• Walter Rudin，《Real and Complex Analysis》：在测度论与积分、以及相关收敛与正则性讨论中使用半连续性概念。
• R. Tyrrell Rockafellar，《Convex Analysis》：用下半连续性刻画凸函数与闭凸函数、以及极小化问题的存在性条件。
• Rockafellar & Wets，《Variational Analysis》：系统讨论（下）半连续在变分分析与最优化中的核心作用。
• James R. Munkres，《Topology》：在拓扑学框架下介绍上/下半连续的映射与相关性质。